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4.1.4成教课程大纲--数学分析(2011年10月修订)
发布日期:2012-10-18

数学分析  课程教学大纲  

总学时:216            自学时数:162           面授时数:48

运用专业:数学教育     课程性质:基础课

先修课程:高等代数   制定日期:201110

一、 本课程的地位和作用

数学分析是数学专业的一门重要的基础理论课,通过这门课程的学习,应让学生对极限的思想和方法、及其应用有较深刻的认识,有助于培养学生的辩证唯物主义观点。

二、 本课程的教学目标

通过本课程的学习,要让学生正确理解数学分析的基本概念,基本上掌握数学分析中的论证方法,在专科学习的基础上,提高数学分析的理论水平,加强运算能力的训练,获得较为熟练的演算技能和初步的应用能力。为学习《复变函数》,《微分方程》、《实变函数》等后继课程打下良好的基础。

三、 课程内容和基本要求

(一) 教学基本要求

1. 能写出函数的Fourier级数并讨论收敛性

2. 理解二元函数的极限与一元函数极限的本质差异,理解二重极限与累次极限差异,会求某些二重极限

3. 能用连续定义判断二元函数的连续性,掌握连续函数的局部性质与整体性质

4. 清楚可微,偏导数存在,偏导数连续,方向导数存在连续之间的关系

5. 会计算偏导数,全微分(一阶的或高阶的),特别是复合函数的偏导数,会利用一阶微分的形式不变性

6. 会求函数的极值,最大、小值

7. 会利用中值定理和Taylor公式解决问题

8. 理解隐函数定理的条件,会求隐函数的导数或偏导数,理解反函数组存在的条件

9. 会计算各种积分(直接计算或变量变换)

  10. 会利用积分处理几何的,物理的实际问题

 11. 熟悉Green公式、Gauss公式和Stokes公式,并会利用这些公式作积分转换

  12熟悉积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数

(二) 教学内容

第一章 Fourier级数

§1  Fourier级数

(一) 三角级数,正交函数系

(二) 以2π为周期的函数的Fourier级数

(三) 以2l为周期的函数的Fourier级数

(四) 偶函数与奇函数的Fourier级数

§2  收敛定理

(一) 收敛定理及其证明

(二) 函数的Fourier级数展开式

§3  利用Fourier级数求数值级数的和

第二章 多元函数的极限与连续

§1   平面点集的拓扑知识

§2   R2的完备性

§3   多元函数

(一) 二元函数

(二) n元函数

§4   二元函数极限

(一) 二重极限

(二) 累次极限

(三) 相互关系

§5   二元函数连续性

(一) 连续概念及局部性质

(二) 有界闭域上连续函数的性质

第三章  多元函数微分学   

§1  可微性

(一) 可微性与全微分

(二) 偏导数

(三) 可微的充分条件

(四) 函数在一点处可微,偏导数存在与连续之间的关系

(五) 可微的几何意义及可微性在几何中的应用

§2  复合函数微分法

(一) 多元复合函数

(二) 复合函数求导的链式法则

(三) 复合函数的全微分,一阶微分的形式不变性

§3  方向导数与梯度

(一) 方向导数的定义

(二) 可微与方向导数

(三) 偏导数与方向导数

(四) 梯度

§4  Taylor公式与极值问题

(一) 高阶偏导数

(二) 中值定理与Taylor公式

(三) 极值问题

(四) 最大值与最小值

第三章 隐函数定理及应用

   §1  隐函数

(一) 隐函数概念

(二) 隐函数存在定理,反函数存在定理

(三) 隐函数求导

§2  隐函数组

(一) 隐函数组概念

(二) 隐函数组定理

(三) 反函数组与坐标变换

§3  几何应用

(一) 平面曲线的切线与法线

(二) 空间曲线的切线与法平面

(三) 曲面的切平面与法线

§4  约束极值问题

第四章 重积分

§1  二重积分的概念

(一) 二重积分的定义及几何意义

(二) 可积条件

§2  二重积分的计算

(一) 平面区域的不等式组表示

(二) 化二重积分为累次积分

(三) 换元法

(四) 含参量积分及其导数

§3  三重积分

(一) 三重积分定义及物理意义

(二) 化三重积分为累次积分

(三) 换元法

§4  重积分应用

(一) 曲面面积计算

(四) 重心坐空间区域的不等式组表示

(二) 标计算

(三) 转动惯量计算

(四) 引理

§5  含参量非正常积分

(一) 含参量非正常积分

(二) Euler积分

第六章  曲线积分与曲面积分

§1  第一型曲线积分与第一型曲面积分

(一) 第一型曲线积分与第一型曲面积分的概念

(二) 第一型曲线积分与第一型曲面积分的计算

§2  第二型曲线积分

(一) 第二型曲线积分的概念

(二) 第二型曲线积分的计算

(三) 两类曲线积分之间的关系

§3  Green公式、曲线积分与路线的无关性

(一) Green公式

(二) 曲线积分与路线无关性

§4  第二型曲线积分

(一) 单侧曲面与双侧曲面

(二) 第二型曲面积分的概念

(三) 第二型曲面积分的计算

(四) 两类曲面积分之间的关系

§5  Gauss公式与Stokes公式

(一) Gauss公式

(二) Stokes公式

四、 学时分配

序号

           教学环节   

     学 时

内  容

 讲课

习题

小计

1

Fourier级数

  4

2

6

2

多元函数的极限与连续

  4

2

6

3

多元函数级分学

  4

2

6

4

隐函数定理及应用

  4

2

6

5

重积分

  4

2

6

6

曲线积分与曲面积分

  4

2

6

         总   计

48


五.主要教材及参考书

1.《数学分析》下册 华东师范大学数学系编,高教出版社,1990参考书

2.《数学分析讲义》刘玉琏等,,下册,1981

3.《数学分析》() 吉林大学数学系 人民教育出版社 1978

4.《数学分析》() 陈传章等 复旦大学数学系  1986

六. 说明

本大纲的撰写者 黄强林(副教授)  2665威尼斯




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